ISLR习题：线性回归 - 没有截距的简单线性回归

January 13, 2021 (最后修改: November 08, 2024)

本文源自《统计学习导论：基于R语言应用》(ISLR) 第三章习题

生成预测变量 x 和响应变量 y

set.seed(1)
x = rnorm(100)
y = 2 * x + rnorm(100)

y 对 x

建立 y 对 x 的不含截距的简单线性回归

lm_fit_y_x <- lm(y ~ x + 0)
summary(lm_fit_y_x)

Call:
lm(formula = y ~ x + 0)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-1.9154 -0.6472 -0.1771  0.5056  2.3109 

Coefficients:
  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
x   1.9939     0.1065   18.73   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.9586 on 99 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.7798,	Adjusted R-squared:  0.7776 
F-statistic: 350.7 on 1 and 99 DF,  p-value: < 2.2e-16

x 对 y

lm_fit_x_y <- lm(x ~ y + 0)
summary(lm_fit_x_y)

Call:
lm(formula = x ~ y + 0)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-0.8699 -0.2368  0.1030  0.2858  0.8938 

Coefficients:
  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
y  0.39111    0.02089   18.73   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.4246 on 99 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.7798,	Adjusted R-squared:  0.7776 
F-statistic: 350.7 on 1 and 99 DF,  p-value: < 2.2e-16

对比

模型	系数	标准差	t 统计量	p 值
y ~ x + 0	1.9939	0.1065	18.73	< 2.2e-16
x ~ y + 0	0.39111	0.02089	18.73	< 2.2e-16

t 统计量

第一种计算方法

$$ t = \hat{\beta} / \mathit{SE}(\hat{\beta}) $$

$$ \hat{\beta} = (\sum_{i=1}^nx_iy_i) / (\sum_{i’=1}^nx_{i’}^2) $$

$$ \mathit{SE}(\hat{\beta}) = \sqrt{ \frac {\sum_{i=1}^n(y_i - x_i\hat\beta)^2} {(n-1)\sum_{i’=1}^nx_{i’}^2} } $$

beta <- sum(x * y) / sum(x^2)
beta

[1] 1.993876

se_beta <- sqrt(sum((y - x*beta)^2) / (99 * sum(x^2)))
se_beta

[1] 0.1064767

t1 <- beta / se_beta
t1

[1] 18.72593

第二种计算方法

$$ \frac { (\sqrt{n-1}) \sum_{i=1}^nx_iy_i } { \sqrt{ (\sum_{i=1}^n x_i^2)(\sum_{i’=1}^ny_i’^2) - (\sum_{i’=1}^2x_{i’}y_{i’})^2 } } $$

(
  sqrt(99) * sum(x*y) 
) / (
  sqrt(
    sum(x^2) * sum(y^2) - sum(x*y) ^ 2
  )
)

[1] 18.72593

两种方法计算结果相同

所以 x 对 y 的 t 统计量和 y 对 x 的 t 统计量是一样的

参考

https://github.com/perillaroc/islr-study

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